Turing Model -the problems between wet and dry-

Motivation

Turing pattern is a theme which some teams of iGEM have already been working on. However, all of them have stopped at the dry step, and no team has actually succeeded in creating a pattern so far. What is the reason? This year, iGEM Kyoto considered the formation of Turing pattern, and attempted to span dry and wet approaches with a bridge.

Introduction

Turing pattern is a kind of a mathematic model. Let’s imagine two diffusible substances which interact with each other. Among these two diffusible factors, one activates itself and the other, and the other represses itself.

The two diffusible substances increase and decrease through interaction and create a difference in the density. This shading in the density causes the Turing pattern.

Turing model is an abstract mathematic model. In order to understand intuitively, let me set a field divided into many cell units. In each cell there are the diffusible substances. Let’s consider how a pattern is formed here. Firstly, you focus on only one cell unit.

Each of the two diffusible substances have two characters as we mentioned: “interaction affects to the amount of substances themselves” and “diffusibility”. This means that the density of the substances in the cell units changes moment by moment.

Affecting the density, by in-flow and out-flow to the cell unit by a diffusion velocity peculiar to the substance (fig)

Turing arranged these two factors and established the Reaction-diffusion equation below. (Hereafter we call the two diffusible substances A and B)

<eq.>

【日本語】

「エニグマの解読などで知られる数学者A.Turing。彼の偉業の1つにTuring modelの考案がある。彼は数学者としての目線から、動物の体表にある模様の形成の謎を解こうとした。その結果彼が到達したのがTuring modelなのである。Turingいわく、動物の体表の模様もTuring patternに含まれるという。まだ完全に実証されたわけではないが、現に日本の近藤滋教授などによって、自然界におけるTuring patternの存在が再評価されつつある。」

Turing patternとはある種の数学モデルであり、「相互作用する2つの仮想因子」によってpatternを形成する。「相互作用する2つの仮想因子」とは拡散する因子であり、一方は自己と他方の増加を促進し、もう一方が他方の増加を抑制するというものだ。 (図) このような性質を持つ2つの仮想因子が相互作用しあいながら増減し、その結果として因子の濃度にムラが生まれ、仮想因子の密度の濃淡によってpatternが浮かびあがるというのがTuring patternの略図である。 (図) Turing modelはあくまでも数学モデルである。これを直感的に把握するため、実際にある空間を仮定してpatternがいかにして形成されるかを考えてみよう。まずは解りやすくするために、空間を下図のようにいくつものcell unitに分割し、1つのcell unitについてのみ考えよう。 (図) 2つの仮想因子の濃度のムラはどのようにして形成されるだろうか。仮想因子の性質を思い出してみると「拡散し」「相互作用によって増減する」とある。つまり「相互作用による増減」と「拡散による流出入」によって仮想因子の濃度が刻一刻と変化するのだ。「相互作用による増減」はそれぞれの因子に固有の反応速度で、促進・抑制しあう。 (図) そして「拡散による流出入」もそれぞれの因子に固有の拡散速度でcell unitの中に流出入しながらその濃度に影響を与える。 (図) この2つの要素を、Turingは下に表す「反応拡散方程式」にまとめた。(便宜上2つの仮想因子をそれぞれA,Bと呼ぶ事とする)

(反応拡散方程式)

この2式を少し見ただけでは解りづらいと思うので、簡単な説明を加える。先ほど述べたように反応拡散方程式は、patternが形成される空間の、ある一定領域(i)における2つの仮想因子の増減を表している。 (図) Ki, Ki’, Ki’’は領域iにおいてそれぞれ仮想因子が相互作用する際の増減変化の定数であり、これらは全て任意の領域iにおいて常に一定である。DiA, DiBはそれぞれの仮想因子に固有の「拡散しやすさ」を表す定数である。すなわち、反応拡散方程式はある時間の微小領域における2つの仮想因子A, Bの存在量に応じて、その両方が微小時間後にどう増減するかを表しているのだ。 (図) 私たちが今回目をつけたのは、この両式の中での「Ki, Ki’, Ki’’」という定数である。これらはTuring pattern形成の為に「任意の領域iにおいて常に一定である」という前提がある。 (図) しかし大腸菌でTuring patternを形成する際には、これらは本当に任意のiにおいて常に一定だろうか。ここで私たちはwetにおいては成り立たない場合が生じてくると考えた。というのも、このTuring patternを大腸菌で実現しようとした時、A,Bが増加するのは大腸菌の合成によってであるため、「一定領域内の大腸菌密度」に「A,Bの増減速度」が依存してしまうからである。 大腸菌が定常状態に至るまではまばらに生育している限り、どうしても大腸菌密度に差が生じてしまう。この密度差によって、「Ki, Ki’, Ki’’」がiによって異なると考えられるのだ。 (図) それではこの「Ki, Ki’, Ki’’」の差は無視出来るものだろうか。これを確認するための実験系を考えた。dryとwetとの差を埋めるために、私たちはこの実験をdryと本実験との間に行うことを提案する。 (図)

idea

Discussion

conclusion